Задача 8.6. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. На его стороне AB отметили точку X так, что ∠ABC = 4∠ACX. Точка M — середина стороны AC. Найдите длину отрезка BX, если известно, что BC = 53, BM = 40.

Обозначим \(\beta=\angle ACB=\angle BAC\), а \(\alpha=\angle ACX\). Тогда \(\angle ABC=180^\circ-2\beta\), поэтому из условия \(\alpha=45^\circ-\frac{\beta}{2}\).

В треугольнике \(BCX\): \(\angle BCX=\beta-\alpha\), \(\angle BXC=\beta+\alpha\). По теореме синусов:

\(\displaystyle \frac{BX}{BC}=\frac{\sin(\beta-\alpha)}{\sin(\beta+\alpha)}=2\sin\beta-1.\)

Поскольку \(M\) — середина основания равнобедренного треугольника, \(BM\perp AC\). В прямоугольном треугольнике \(BMC\): \(\sin\beta=\frac{BM}{BC}\). Следовательно, \(BX=BC\left(2\frac{BM}{BC}-1\right)=2BM-BC\).

Подставим данные: \(BX=2\cdot40-53=27\).

Ответ: 27.