Задача 8. Доказать: ACEK — ромб; BDFN — параллелограмм.

По отметкам на рисунке AB = BC = CD = DE = EF = FN = NK = NA. Поэтому все стороны четырёхугольника ACEK равны:

AC = AB + BC, CE = CD + DE, EK = EF + FK, KA = KN + NA.

На рисунке также отмечено, что FK = NK, а значит, EK = EF + FK = EF + NK. Сопоставляя одинаковые отмеченные отрезки, получаем AC = CE = EK = KA. Следовательно, ACEK — ромб.

Рассмотрим четырёхугольник BDFN. В ромбе противоположные стороны параллельны, поэтому AC ∥ EK. Так как B лежит на AC, а N лежит на AK, из рисунка следует, что BN и DF параллельны как отрезки, соединяющие соответствующие точки на противоположных сторонах; кроме того, отметки дают BN = DF. Следовательно, одна пара противоположных сторон BDFN равна и параллельна, поэтому BDFN — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.