Задача 8. Известно, что ∠1 + ∠2 = 270°. Найдите ∠4. Ответ дайте в градусах.

Решение:

На рисунке изображены две пересекающиеся прямые. Углы 1 и 2 являются смежными, поэтому их сумма равна 180°.

Однако, по условию задачи, \( \angle 1 + \angle 2 = 270° \). Это означает, что \( \angle 1 \) и \( \angle 2 \) — это не смежные углы, а углы, составляющие полный оборот вокруг точки пересечения (за исключением углов 3 и 4).

Сумма всех углов вокруг точки пересечения равна 360°:

\( \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360° \)

По условию \( \angle 1 + \angle 2 = 270° \). Подставим это значение в уравнение:

\( 270° + \angle 3 + \angle 4 = 360° \)

\( \angle 3 + \angle 4 = 360° - 270° \)

\( \angle 3 + \angle 4 = 90° \)

Углы 3 и 4 являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны.

\( \angle 3 = \angle 4 \)

Поскольку \( \angle 3 + \angle 4 = 90° \) и \( \angle 3 = \angle 4 \), то:

\( \angle 4 + \angle 4 = 90° \)

\( 2 \cdot \angle 4 = 90° \)

\( \angle 4 = \frac{90°}{2} \)

\( \angle 4 = 45° \)

Ответ: 45 градусов.