Задача 8. Равнобедренный треугольник: два направления. Часть А. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC. Высота BD проведена к основанию AC. Известно, что AC = 18 см, ∠ABD = 37°. 1. Найдите AD. 2. Найдите весь угол B. 3. Найдите углы A и C. 4. Какие ещё две роли, кроме высоты, выполняет отрезок BD?

1. В равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины B к основанию AC, делит основание пополам: AD = DC. Поэтому AD = AC : 2 = 18 : 2 = 9 см.

2. Высота BD в равнобедренном треугольнике также является биссектрисой угла B, поэтому ∠ABD = ∠DBC = 37°. Следовательно, ∠B = 37° + 37° = 74°.

3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. По сумме углов треугольника ∠A = ∠C = (180° − 74°) : 2 = 53°.

4. Отрезок BD также является медианой и биссектрисой угла B.

Ответ: 1) 9 см; 2) 74°; 3) ∠A = ∠C = 53°; 4) медиана и биссектриса.