Задача 8. Сократите дробь: \(\dfrac{x^3+6x^2+2x-3}{x+1}\). Найдите значение полученного выражения, если \(x=1,2\).

Разложим числитель, сгруппировав слагаемые:

\(x^3+6x^2+2x-3=(x^3-1)+(6x^2+2x-2)\).

\(=(x-1)(x^2+x+1)+2(3x^2+x-1)\) — эта группировка не даёт общего множителя с знаменателем; проверим деление на \(x+1\) подстановкой \(x=-1\): числитель равен \(-1+6-2-3=0\), значит, он делится на \(x+1\).

Делением многочлена получаем:

\(x^3+6x^2+2x-3=(x+1)(x^2+5x-3)\).

При \(x\ne-1\) дробь сокращается:

\(\dfrac{(x+1)(x^2+5x-3)}{x+1}=x^2+5x-3\).

Подставим \(x=1.2\): \(1.2^2+5\cdot1.2-3=1.44+6-3=4.44\).

Ответ: 4,44.