Задача 8. Свободно падающий с некоторой высоты металлический шарик падает на гладкий массивный клин, покоящийся на горизонтальной поверхности. После того как происходит абсолютно упругий удар шарика о клин, клин проходит 10 см до полной остановки, а шарик начинает лететь горизонтально. Найдите разность высот между точкой падения и точкой удара о клин, если известно, что клин весит в 20 раз больше шарика, а коэффициент трения между клином и горизонтальной поверхностью равен 0,3. Δh = ? см

Обозначим массу шарика через m, массу клина — через M=20m, скорость шарика перед ударом — через v, а скорости шарика и клина после удара — через u и V.

1. По закону сохранения горизонтального импульса после удара: \(mu=MV\), поэтому \(u=20V\).

2. Удар абсолютно упругий, значит, сохраняется кинетическая энергия: \(\frac{mv^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+\frac{MV^2}{2}\). Подставим \(u=20V\) и \(M=20m\): \(v^2=400V^2+20V^2=420V^2\).

3. Клин останавливается из-за трения. Из равенства работы силы трения начальной кинетической энергии клина получаем: \(\frac{MV^2}{2}=\mu_f Mgs\), откуда \(V^2=2\mu_fgs\). При \(s=0.10\) м и \(\mu_f=0.3\): \(V^2=0.06g\).

4. Высота падения шарика определяется из \(mgh=\frac{mv^2}{2}\): \(h=\frac{420V^2}{2g}=210\cdot0.06=12.6\) м.

5. Переведём результат в сантиметры: \(12.6\) м = \(1260\) см.

Ответ: 1260 см.