Задача 8. У Феди есть 150 пряников. Часть из них с начинкой, а остальные - без. После того, как были съедены все пряники с начинкой, общий вес пряников уменьшился в 5 раз. Сколько было пряников с начинкой, если один пряник с начинкой в два раза тяжелее пряника без начинки?

Решение:

Пусть Х — количество пряников без начинки, а Н — количество пряников с начинкой.

Общее количество пряников: \( X + H = 150 \).

Пусть вес одного пряника без начинки равен w. Тогда вес одного пряника с начинкой равен \( 2w \).

Общий вес всех пряников до того, как были съедены пряники с начинкой: \( W_{до} = X \cdot w + H \cdot 2w \).

После того, как были съедены все пряники с начинкой, остался только вес пряников без начинки: \( W_{после} = X \cdot w \).

По условию, общий вес уменьшился в 5 раз: \( W_{до} = 5 \cdot W_{после} \).

Подставим выражения для весов:

\( X \cdot w + H \cdot 2w = 5 \cdot (X \cdot w) \)

Разделим обе части уравнения на \( w \) (так как \( w \) не может быть равно 0):

\( X + 2H = 5X \)

Перенесём \( X \) в правую часть:

\( 2H = 5X - X \)

\( 2H = 4X \)

Разделим обе части на 2:

\( H = 2X \)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( X + H = 150 \)
2. \( H = 2X \)

Подставим второе уравнение в первое:

\( X + (2X) = 150 \)

\( 3X = 150 \)

\( X = \frac{150}{3} \)

\( X = 50 \)

Теперь найдём количество пряников с начинкой \( H \):

\( H = 2X = 2 \cdot 50 \)

\( H = 100 \)

Проверим условие: общее количество пряников \( 50 + 100 = 150 \). Вес пряников до: \( 50w + 100(2w) = 50w + 200w = 250w \). Вес пряников после: \( 50w \). \( 250w / 50w = 5 \). Условие выполнено.

Ответ: 100.