Задача 8. В классе 34 учеников. Каждый из них пользуется хотя бы одним из видов городского транспорта: метро, автобусом и троллейбусом. Всеми тремя видами транспорта пользуются 5 учеников, метро и автобусом — 15 учеников, метро и троллейбусом — 12 учеников, троллейбусом и автобусом — 8 учеников. Сколько учеников пользуются только одним видом транспорта?

Обозначим через S сумму численностей трёх групп, а через P — сумму численностей попарных пересечений.

1. По формуле включений-исключений: \(34=S-P+5\). Сумма попарных пересечений равна \(P=15+12+8=35\), поэтому \(S=34+35-5=64\).

2. В каждом попарном пересечении тройное пересечение учтено трижды. Значит, учеников ровно в двух группах: \(35-3\cdot5=20\).

3. Сумма размеров групп складывается из учеников ровно в одной группе, учеников ровно в двух группах, посчитанных дважды, и учеников во всех трёх группах, посчитанных трижды. Поэтому число учеников только с одним видом транспорта равно \(64-2\cdot20-3\\cdot5=9\).

Ответ: 9 учеников.