Задача 9. Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке K, которая лежит на стороне AD. Найдите BK, если BC = 18 и ∠C = 60°.

В параллелограмме соседние углы в сумме равны 180°, поэтому \(\angle B=120^\circ\).

Так как \(BK\) — биссектриса угла B, то \(\angle ABK=\angle KBC=60^\circ\). А поскольку K лежит на AD и \(AD\parallel BC\), угол \(BKA\) равен углу \(KBC\), то есть \(60^\circ\). Следовательно, треугольник ABK равносторонний и \(BK=AK=AB\).

Аналогично, \(CK\) — биссектриса угла C, значит \(\angle BCK=30^\circ\). Так как \(BK\) делит угол B пополам, \(\angle KBC=60^\circ\). В треугольнике BCK третий угол равен \(90^\circ\), поэтому \(BC\) — гипотенуза, а \(BK=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9\).

Ответ: 9.