Задача 9. Дан цилиндр. AB — диаметр его верхнего основания, а CD — диаметр его нижнего основания. Точка M — середина отрезка AC, точка E — проекция точки A на нижнее основание цилиндра. Докажите, что точка пересечения прямой EM с поверхностью цилиндра лежит в плоскости верхнего основания.

Обозначим через h высоту цилиндра, а через A′ проекцию точки C на плоскость верхнего основания. Поскольку основания цилиндра параллельны, отрезки AA′ и CE перпендикулярны основаниям и равны h. Точки E и A′ являются проекциями соответственно A и C на нижнее основание.

1. Так как M — середина AC, её высота над нижним основанием равна половине высоты цилиндра: \(h/2\).
2. В плоскости, параллельной основаниям, на высоте \(h/2\) точка M имеет положение посередине между проекциями A и C. Поэтому её горизонтальное смещение от E вдвое меньше смещения от E до A′.
3. На прямой EM высота изменяется пропорционально расстоянию от E. Чтобы пройти от высоты \(h/2\) точки M до высоты h верхнего основания, нужно продолжить прямую вдвое дальше от E. Горизонтальная проекция этой точки окажется в A′.
4. Следовательно, точка пересечения прямой EM с поверхностью цилиндра находится на высоте h и имеет проекцию A′. Она лежит в плоскости верхнего основания.

Что и требовалось доказать.