Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Задача 9. Найдите площадь сечения единичного куба \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) плоскостью, проходящей через вершину \(D\) и середины…Фото задания

Ответ:

Обозначим середины рёбер \(AA_1\) и \(CC_1\) через \(M\) и \(N\). Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(C(1,1,0)\), \(D(0,1,0)\), а верхние вершины имеют координату \(z=1\). Тогда \(M(0,0,0.5)\), \(N(1,1,0.5)\).

  1. Плоскость через \(D\), \(M\), \(N\) имеет уравнение \(-x+y+2z=1\). Например, подстановка координат каждой из этих трёх точек даёт равенство.

  2. На ребре \(BB_1\) уравнение плоскости выполняется при \(z=1\), поэтому сечение проходит через \(B_1(1,0,1)\). Сечение — параллелограмм \(MB_1ND\).

  3. Соседние стороны параллелограмма можно задать векторами \(\overrightarrow{MB_1}=(1,0,0.5)\) и \(\overrightarrow{MD}=(0,1,-0.5)\). Их векторное произведение имеет длину \(\sqrt{0.5^2+0.5^2+1^2}=\frac{\sqrt6}{2}\), значит площадь сечения равна \(\frac{\sqrt6}{2}\).

  4. Делим площадь на \(\sqrt6\): \(\frac{\sqrt6}{2}\div\sqrt6=\frac12=0.5\).

Ответ: 0.5