Задача 9. С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс 1-2-3-4-1, pV-диаграмма которого представлена на рисунке. Максимальная температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет 400 К. На основании анализа этого циклического процесса выберите все верные утверждения. 1. Работа, совершённая над газом при его изобарном сжатии, равна 100 Дж. 2. В процессе 2-3 газ получает положительное количество теплоты. 3. Работа газа за цикл равна 200 Дж. 4. Минимальная температура в циклическом процессе равна 200 К. 5. Количество теплоты, переданное газу при изохорном нагревании, равно 900 Дж.

Анализ процесса:

Для решения задачи необходимо проанализировать каждый процесс в циклическом процессе 1-2-3-4-1. На pV-диаграмме видно, что:

• Процесс 1-2: изобарное расширение.
• Процесс 2-3: изохорное нагревание.
• Процесс 3-4: изобарное сжатие.
• Процесс 4-1: изохорное охлаждение.

Из диаграммы также видно, что:

• \(P_1 = P_4 = 100 \text{ кПа}\)
• \(P_2 = P_3 = 200 \text{ кПа}\)
• \(V_1 = V_2 = 1 \text{ л} = 0.001 \text{ м}^3\)
• \(V_3 = V_4 = 2 \text{ л} = 0.002 \text{ м}^3\)

Максимальная температура \(T_{max} = 400 \text{ К}\). Так как \(T \propto PV\) (для изохорного процесса) и \(T \propto P\) (для изобарного процесса), максимальная температура достигается в точке 3, где \(P\) и \(V\) максимальны.

\(T_3 = 400 \text{ К}\).

Используем уравнение состояния идеального газа \(PV = nRT\), чтобы найти \(n R\).

Из точки 3: \(200 \text{ кПа} × 0.002 \text{ м}^3 = nRT_3 \Rightarrow 0.4 = nRT_3 \Rightarrow nR = \frac{0.4}{400} = 0.001 \text{ Дж/К}\).

Теперь найдем температуры в других точках:

• \(T_2 = \frac{P_2 V_2}{nR} = \frac{100 \text{ кПа} × 0.001 \text{ м}^3}{0.001} = 100 \text{ К}\).
• \(T_4 = \frac{P_4 V_4}{nR} = \frac{200 \text{ кПа} × 0.001 \text{ м}^3}{0.001} = 200 \text{ К}\).
• \(T_1 = \frac{P_1 V_1}{nR} = \frac{100 \text{ кПа} × 0.001 \text{ м}^3}{0.001} = 100 \text{ К}\).

Анализ утверждений:

1. Работа, совершённая над газом при его изобарном сжатии, равна 100 Дж.
   Изобарное сжатие происходит в процессе 3-4. Работа, совершённая газом: \(A_{3-4} = P_3(V_4 - V_3) = 200 \text{ кПа} × (0.001 - 0.002) \text{ м}^3 = -200 \text{ Дж}\). Работа, совершённая над газом, равна \(-A_{3-4} = 200 \text{ Дж}\). Утверждение неверно.
2. В процессе 2-3 газ получает положительное количество теплоты.
   Процесс 2-3 — изохорное нагревание. \(V_2 = V_3\). \(T_3 = 400 \text{ К}\), \(T_2 = 100 \text{ К}\). Так как температура повышается, газ получает теплоту. \(Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} + A_{2-3}\). Так как \(A_{2-3} = 0\) (изохорный процесс), \(Q_{2-3} = \Delta U_{2-3} = \frac{i}{2} nR \Delta T\). Для одноатомного газа \(i=3\). \(Q_{2-3} = \frac{3}{2} \times 0.001 × (400 - 100) = 1.5 × 0.001 × 300 = 0.45 \text{ Дж}\). Количество теплоты положительное. Утверждение верно.
3. Работа газа за цикл равна 200 Дж.
   Работа газа за цикл равна площади фигуры, ограниченной графиком процесса. \(A_{цикл} = A_{1-2} + A_{2-3} + A_{3-4} + A_{4-1}\). \(A_{1-2} = P_1(V_2 - V_1) = 100 \text{ кПа} × (0.001 - 0.001) = 0 \text{ Дж}\). \(A_{2-3} = 0 \text{ Дж}\). \(A_{3-4} = P_3(V_4 - V_3) = 200 \text{ кПа} × (0.001 - 0.002) = -200 \text{ Дж}\). \(A_{4-1} = 0 \text{ Дж}\). Работа газа за цикл равна площади прямоугольника: \(A_{цикл} = (P_2 - P_1) × (V_3 - V_1) = (200 - 100) × (0.002 - 0.001) = 100 × 0.001 = 0.1 × 1000 = 100 \text{ Дж}\). Утверждение неверно.
4. Минимальная температура в циклическом процессе равна 200 К.
   Минимальные температуры достигаются в точках 1 и 2, где \(T_1 = 100 \text{ К}\) и \(T_2 = 100 \text{ К}\). Утверждение неверно.
5. Количество теплоты, переданное газу при изохорном нагревании, равно 900 Дж.
   Изохорное нагревание происходит в процессе 2-3. \(Q_{2-3} = \frac{3}{2} nR (T_3 - T_2) = \frac{3}{2} × 0.001 × (400 - 100) = 1.5 × 0.001 × 300 = 0.45 × 1000 = 450 \text{ Дж}\). Утверждение неверно.

Ответ: 2.