Задача 9. (Средняя скорость) Одну треть пути велосипедист ехал по полю со скоростью v₁ = 5 км/ч, потом он выехал на асфальтированную дорогу и еще треть пути он ехал со скоростью v₂ = 20 км/ч, потом он немного устал крутить педали и оставшееся расстояние он ехал со скоростью v₃ = 12 км/ч Найти среднюю скорость велосипедиста на всем пути.

Решение:

Пусть весь путь равен \( S \). Каждая треть пути равна \( \frac{S}{3} \).

Время, затраченное на первую треть пути:

\[ t_1 = \frac{\frac{S}{3}}{v_1} = \frac{S}{3 \cdot 5} = \frac{S}{15} \] ч.

Время, затраченное на вторую треть пути:

\[ t_2 = \frac{\frac{S}{3}}{v_2} = \frac{S}{3 \cdot 20} = \frac{S}{60} \] ч.

Оставшееся расстояние составляет \( S - \frac{S}{3} - \frac{S}{3} = \frac{S}{3} \). Время, затраченное на третью треть пути:

\[ t_3 = \frac{\frac{S}{3}}{v_3} = \frac{S}{3 \cdot 12} = \frac{S}{36} \] ч.

Общее время в пути:

\[ t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{15} + \frac{S}{60} + \frac{S}{36} \]

Приведём дроби к общему знаменателю, который равен 180:

\[ t_{общ} = \frac{12S}{180} + \frac{3S}{180} + \frac{5S}{180} = \frac{12S + 3S + 5S}{180} = \frac{20S}{180} = \frac{S}{9} \] ч.

Средняя скорость находится по формуле \( v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} \):

\[ v_{ср} = \frac{S}{\frac{S}{9}} = S \cdot \frac{9}{S} = 9 \] км/ч.

Ответ: 9 км/ч.