Задача 6

a) Первая лемма о высотах:

Основания высот треугольника являются вершинами другого треугольника, подобного исходному. Центр окружности, описанной около этого треугольника (ортоцентрического), совпадает с серединой отрезка, соединяющего вершину и ортоцентр исходного треугольника.

б) Решение:

Дано: Треугольник ABC, AA₁, BB₁, CC₁ - высоты, AC = 6, A₁C₁ = 3√3.

Найти: ∠B.

Решение:

Поскольку AA₁, BB₁, CC₁ - высоты, треугольник A₁B₁C₁ - ортоцентрический треугольник треугольника ABC.

Из подобия треугольников A₁B₁C₁ и ABC следует:

$$\frac{A_1C_1}{AC} = |\cos B|$$

Подставляем известные значения:

$$\frac{3\sqrt{3}}{6} = |\cos B|$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = |\cos B|$$

Отсюда:

$$|\cos B| = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Угол B может быть равен 30° или 150°.

Если угол B = 150°, то это противоречит условию, что ABC - треугольник (сумма углов треугольника должна быть 180°). Следовательно, угол B = 30°.

Ответ: ∠B = 30°

в) Решение:

Дано: Высоты AA₁ и BB₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. BH = HB₁, ∠ACB = 60°, AB₁ = √3.

Найти: Высоту AA₁ и сторону AC.

1. Рассмотрим треугольник BB₁C:

Так как BB₁ - высота, то треугольник BB₁C - прямоугольный. Угол ∠BCB₁ = ∠ACB = 60°.

Тогда ∠BB₁C = 90°, следовательно, ∠B = 90° - 60° = 30°.

2. Рассмотрим треугольник ABB₁:

Так как BB₁ - высота, то треугольник ABB₁ - прямоугольный. Из условия BH = HB₁, то BB₁ - медиана и высота в треугольнике ABH, следовательно, ABH - равнобедренный (AB = AH).

3. Рассмотрим треугольник ABC:

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 60° = 90°.

4. Найдем AC:

$$cos(∠B) = \frac{B_1A}{AB} => AB = \frac{\sqrt{3}}{cos(30)} = 2$$

$$sin(∠B) = \frac{AC}{AB} => AC = 2sin(30) = 1$$

5. Найдем AA₁:

$$cos(∠C) = \frac{CA_1}{AC} => CA_1 = 1cos(60) = 0,5$$

$$AA_1 = \sqrt{AC^2 - CA_1^2} = \sqrt{1^2 - 0.5^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: AA₁ = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, AC = 1