Задача. ABCD — ромб, O — точка пересечения его диагоналей, M — точка пространства, не лежащая в плоскости ромба. Точки A, D, O лежат на плоскости α. Дайте ответы на поставленные вопросы с необходимыми обоснованиями. 1. Лежат ли в плоскости α точки B и C? 2. Лежит ли в плоскости MOB точка D? 3. Назовите линию пересечения плоскостей MOB и ADO. 4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60°. Предложите различные способы вычисления площади ромба.

1. В ромбе диагонали пересекаются и делятся пополам. Поэтому точки A, O и C лежат на одной прямой, а точки D, O и B — на другой.

   Так как A, D и O лежат в плоскости α, то плоскость ADO совпадает с плоскостью ромба. Следовательно, точки C и B также лежат в плоскости α.

2. Точки D, O и B лежат на одной прямой. Эта прямая содержится в плоскости MOB, поскольку точки O и B принадлежат этой плоскости. Значит, точка D также лежит в плоскости MOB.

3. Плоскость ADO — это плоскость α. Плоскости MOB и ADO имеют общую прямую OD, так как точки O и D принадлежат обеим плоскостям.

   Следовательно, линия пересечения плоскостей MOB и ADO — прямая OD (или прямая OB).

4. Первый способ: площадь ромба равна произведению стороны на высоту. Высота равна \(4\sin 60^\circ\), поэтому

   \[S=4\cdot(4\sin60^\circ)=16\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\text{ см}^2.\]

   Второй способ: площадь ромба равна произведению квадратов стороны на синус угла между сторонами:

   \[S=a^2\sin\alpha=4^2\sin60^\circ=16\cdot\frac{\sqrt3}{2}=8\sqrt3\text{ см}^2.\]

   Третий способ: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. При угле \(60^\circ\):

   \[AC=2a\cos30^\circ=2\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3\text{ см},\]

   \[BD=2a\sin30^\circ=2\cdot4\cdot\frac12=4\text{ см}.\]

   Тогда

   \[S=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot4\sqrt3\cdot4=8\sqrt3\text{ см}^2.\]

Ответ: 1) да, точки B и C лежат в плоскости α; 2) да, точка D лежит в плоскости MOB; 3) \(OD\) (или \(OB\)); 4) \(8\sqrt3\text{ см}^2\).