ЗАДАЧА Б. (МФТИ, 1994) По гладкой горизонтальной поверхности стола скользит в направлении массивный брусок со скоростью u = 1 м/с и небольшая шайба со скоростью v = 3 м/с, догоняя брусок. В некоторый момент времени шайба находилась в точке на расстоянии L = 1 м от бруска. Через какое время, считая от этого момента, шайба вернётся в точку В? Столкновение шайбы с бруском упругое. Скорость шайбы перпендикулярна грани бруска, о которую она ударяется. Масса шайбы намного меньше массы бруска.

Дано:

• Скорость бруска: \( u = 1 \text{ м/с} \)
• Скорость шайбы: \( v = 3 \text{ м/с} \)
• Начальное расстояние между шайбой и бруском: \( L = 1 \text{ м} \)
• Столкновение упругое.
• Масса шайбы << массы бруска.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законами сохранения импульса и энергии. Так как столкновение упругое и масса шайбы намного меньше массы бруска, после столкновения шайба отскочит от бруска и будет двигаться в противоположном направлении.

1. Найдём время до столкновения:
   Поскольку шайба догоняет брусок, скорость сближения равна разности их скоростей: \( v_{сближения} = v - u = 3 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с} \).
   Время до столкновения: \( t_1 = \frac{L}{v_{сближения}} = \frac{1 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 0.5 \text{ с} \).
2. Определим скорости после столкновения:
   Так как шайба намного легче бруска и столкновение упругое, можно считать, что брусок после столкновения практически не изменит своей скорости (из-за его большой массы). Скорость бруска останется \( u' = u = 1 \text{ м/с} \).
   По закону сохранения импульса: \( mv + Mu = mv' + Mu' \), где \( m \) — масса шайбы, \( M \) — масса бруска, \( v \) и \( u \) — скорости до столкновения, \( v' \) и \( u' \) — скорости после столкновения.
   Так как \( M >> m \), то \( Mu >> mv \).
   По закону сохранения энергии для упругого столкновения: \( \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}Mu^2 = \frac{1}{2}mv'^2 + \frac{1}{2}Mu'^2 \).
   В предельном случае \( M >> m \) и \( u' = u \), скорость шайбы после столкновения будет направлена в противоположную сторону и приблизительно равна: \( v' = -v + 2u = -3 \text{ м/с} + 2(1 \text{ м/с}) = -1 \text{ м/с} \).
   Таким образом, после столкновения шайба начнёт двигаться со скоростью \( 1 \text{ м/с} \) в направлении, противоположном первоначальному движению бруска.
3. Найдём время, чтобы шайба вернулась в исходную точку (точку В):
   После столкновения шайба движется со скоростью \( v' = -1 \text{ м/с} \) (то есть, обратно к точке, где она находилась в момент времени \( t=0 \) относительно бруска). Брусок в этот момент находится на расстоянии \( L_0 = u \times t_1 = 1 \text{ м/с} \times 0.5 \text{ с} = 0.5 \text{ м} \) от своей начальной позиции, и скорость его равна \( 1 \text{ м/с} \) в прежнем направлении. Шайба находится в той же точке, где брусок в момент времени \( t=0 \) (то есть, на расстоянии \( L = 1 \text{ м} \) от бруска).
   После столкновения, которое произошло в момент \( t_1 = 0.5 \text{ с} \) на расстоянии \( L = 1 \text{ м} \) от исходного положения бруска, шайба начинает двигаться обратно со скоростью \( 1 \text{ м/с} \).
   Положение шайбы относительно бруска в момент времени \( t \) (где \( t > t_1 \)): \( x_{шайбы}(t) = x_{столкновения} - v'(t-t_1) = L - |v'|(t-t_1) = 1 - 1 \times (t-0.5) \)
   Положение бруска в момент времени \( t \): \( x_{бруска}(t) = u \times t = 1 \times t = t \)
   Шайба вернётся в точку В, когда её расстояние до бруска станет равным 0, то есть, когда они встретятся снова.
   Или, проще говоря, шайбе нужно пройти расстояние \( L = 1 \text{ м} \) обратно. Скорость шайбы в обратном направлении \( |v'| = 1 \text{ м/с} \).
   Время, за которое шайба пройдёт это расстояние: \( t_2 = \frac{L}{|v'|} = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ м/с}} = 1 \text{ с} \).
   Общее время от момента, когда шайба находилась на расстоянии \( L=1 \text{ м} \) от бруска, до её возвращения в эту точку (относительно бруска), когда шайба и брусок снова окажутся в одной точке.
   Пусть момент столкновения будет \( t_{столкновения} \). Шайба прошла \( L=1 \text{ м} \) за \( t_1=0.5 \text{ с} \).
   В момент столкновения шайба находится в точке \( x_{ст} = L = 1 \text{ м} \) от начала координат (точка, где был брусок в момент \( t=0 \)).
   Скорость шайбы после столкновения \( v' = -1 \text{ м/с} \).
   Скорость бруска после столкновения \( u' = 1 \text{ м/с} \).
   Положение шайбы: \( x_{ш}(t) = 1 - 1 \times (t-0.5) = 1.5 - t \)
   Положение бруска: \( x_{б}(t) = 1 \times t = t \)
   Найдём момент, когда они окажутся в одной точке: \( x_{ш}(t) = x_{б}(t) \)
   \( 1.5 - t = t \)
   \( 1.5 = 2t \)
   \( t = 0.75 \text{ с} \).
   Это время с момента \( t=0 \).
   Нам нужно время от момента столкновения до возвращения в точку В. Точка В — это точка, где шайба оказалась в момент, когда расстояние до бруска было \( L=1 \text{ м} \).
   Время до столкновения \( t_1 = 0.5 \text{ с} \).
   Шайба движется назад со скоростью \( 1 \text{ м/с} \). Ей нужно пройти расстояние \( 1 \text{ м} \) до точки, где находился брусок в момент \( t=0 \).
   Время \( t_2 = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ м/с}} = 1 \text{ с} \).
   Общее время от момента, когда шайба была на расстоянии \( L=1 \text{ м} \) от бруска, до момента, когда шайба и брусок снова окажутся в одной точке — это время, когда шайба вернётся в точку В, относительно бруска. Это время \( t = t_1 + t_2 = 0.5 \text{ с} + 1 \text{ с} = 1.5 \text{ с} \).
   Если под точкой В подразумевается положение бруска в момент \( t=0 \), то шайба возвращается в эту точку за \( 1.5 \text{ с} \).
   Если под точкой В подразумевается положение шайбы в момент \( t=0 \), то она вернётся в это положение после отскока. Шайба отскочила от бруска. Шайба находилась в точке \( L=1 \text{ м} \) от бруска. Шайба врезалась в брусок. Точка В — это место, где шайба была ДО столкновения.
   Время до столкновения: \( t_1 = 0.5 \text{ с} \).
   После столкновения шайба движется со скоростью \( 1 \text{ м/с} \) в обратном направлении. Ей нужно вернуться на расстояние \( 1 \text{ м} \) (относительно бруска).
   Время \( t_2 = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ м/с}} = 1 \text{ с} \).
   Общее время от момента, когда шайба находилась на расстоянии \( L=1 \text{ м} \) от бруска, до момента, когда шайба вернётся в исходное положение (в ту же точку, где она была, когда расстояние было \( L=1 \text{ м} \)).
   Время до столкновения \( t_1 = 0.5 \text{ с} \).
   После столкновения шайба движется назад со скоростью \( 1 \text{ м/с} \).
   Шайба вернётся в точку, где она была ДО столкновения (когда расстояние до бруска было 1м), за время \( t_2 = 1 \text{ с} \).
   Общее время от начального момента: \( T = t_1 + t_2 = 0.5 \text{ с} + 1 \text{ с} = 1.5 \text{ с} \).

   Ответ: 1.5 с.