Задача 1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 51°, угол CAD равен 42°. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах. Задача 2. Ha окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ∠NBA=68°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах. Задача 3. Центр окружности, описанной около треугольника АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 6,5. Найдите АС, если ВС=12. Задача 4. В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD - диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах. Задача 5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задача 1.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD = 51°, угол CAD = 42°. Нужно найти угол ABC.

Угол ABC состоит из углов ABD и DBC. Угол DBC равен углу DAC, так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу DC. Угол DAC равен углу CAD и равен 42°.

Тогда угол ABC = угол ABD + угол DBC = 51° + 42° = 93°.

Ответ: 93.

Задача 2.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=68°. Нужно найти угол NMB.

Угол NBA опирается на дугу NA. Угол NMB также опирается на дугу NA. Значит, угол NMB равен углу NBA и равен 68°.

Ответ: 68.

Задача 3.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC=12.

Так как центр окружности лежит на стороне AB, то AB - диаметр окружности. Значит, AB = 2 * 6,5 = 13.

Так как AB - диаметр, то угол ACB равен 90°. Треугольник ABC - прямоугольный.

По теореме Пифагора, AC^2 + BC^2 = AB^2. Значит, AC^2 = AB^2 - BC^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25.

AC = \√25 = 5.

Ответ: 5.

Задача 4.

В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD - диаметры. Угол AOD равен 114°. Найдите угол ACB.

Угол AOD и угол BOC - вертикальные углы, значит, угол BOC также равен 114°.

Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB равна центральному углу AOB. Угол AOB смежный с углом AOD, значит, угол AOB = 180° - 114° = 66°.

Угол ACB равен половине угла AOB: 66° div 2 = 33°.

Ответ: 33.

Задача 5.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 70°, угол CAD равен 49°. Найдите угол ABD.

Угол ABD = ABC - DBC. DBC = DAC (вписанные, опираются на одну и ту же хорду). DAC = CAD = 49 градусов. ABD = 70-49 = 21.

Ответ: 21.