Задача №8. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведенный из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 8 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, BH ⊥ AD, HD = 8 см.

В равнобедренной трапеции высоты, проведенные из вершин верхнего основания к нижнему, отсекают равные отрезки.

Пусть AH = x, тогда AD = AH + HD = x + 8. Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC)/2. Выразим AD через AH и BC: AD = 2AH + BC. Подставим это выражение в известное равенство AD = AH + HD:

$$2AH + BC = AH + HD$$

Выразим AH:

$$AH = HD - BC$$ $$AH = 8 - BC$$

Выразим AD:

$$AD = AH + 8 = 8 - BC + 8 = 16 - BC$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{16 - BC + BC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}$$

Ответ: 8 см