Задача №9 Дано: \(\Delta ABC - \) р/б, \(AC = BC\), \(AH\) - высота, \(AB = 10\), \(AH = 8\). Найти: \(\sin A, \cos A\).

Дано: \(\Delta ABC\) – равнобедренный, \(AC = BC\), \(AH\) – высота, \(AB = 10\), \(AH = 8\).

Найти: \(\sin A, \cos A\).

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\Delta AHC\), в котором \(\angle H = 90^\circ\).
2. В прямоугольном \(\Delta AHC\) известны гипотенуза \(AH = 8\) и катет \(AC\). Выразим \(AC\) по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AH^2 + HC^2$$ $$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2}$$

1. Неизвестен катет \(HC\). Рассмотрим \(\Delta ABC\). Он равнобедренный, следовательно высота \(AH\) является и медианой, а значит \(BH = HC\).
2. Известно, что \(AB = 10\), тогда \(AH = \frac{1}{2}AB = 5\).
3. Теперь найдем \(AC\):

$$AC = \sqrt{AH^2 + HC^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$$

1. Найдем \(\sin A\) и \(\cos A\):

Синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

$$sin A = \frac{HC}{AC} = \frac{5}{\sqrt{89}}$$

Косинус угла – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

$$cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{8}{\sqrt{89}}$$

Ответ:

\(\sin A = \frac{5}{\sqrt{89}}\)

\(\cos A = \frac{8}{\sqrt{89}}\)

Преобразуем, избавившись от иррациональности в знаменателе:

\(\sin A = \frac{5\sqrt{89}}{89}\)

\(\cos A = \frac{8\sqrt{89}}{89}\)

Ответ: \(\sin A = \frac{5\sqrt{89}}{89}; \cos A = \frac{8\sqrt{89}}{89}\)