Задача. Дано: ABCD — четырёхугольник, \(AB\parallel CD\), \(\angle A=\angle C\). Доказать: ABCD — параллелограмм.

Так как \(AB\parallel CD\), прямые AC пересекают параллельные прямые AB и CD, поэтому накрест лежащие углы равны: \(\angle BAC=\angle ACD\).

По условию \(\angle A=\angle C\), то есть \(\angle DAB=\angle BCD\). Диагональ AC делит эти углы, следовательно, из равенства целых углов и равенства \(\angle BAC\) и \(\angle ACD\) получаем \(\angle DAC=\angle BCA\).

Равенство накрест лежащих углов \(\angle DAC\) и \(\angle BCA\) означает, что \(AD\parallel BC\). Вместе с данным \(AB\parallel CD\) это показывает, что обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны.

Следовательно, ABCD — параллелограмм.