Задача 1 Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение:

• Рассмотрим произвольный треугольник ABC.
• Обозначим буквой O точку пересечения его медиан AA₁ и BB₁ и проведём среднюю линию A₁B₁ этого треугольника (рис. 196).
• Отрезок A₁B₁ параллелен стороне AB, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и A₁B₁ секущими AA₁ и BB₁.
• Следовательно, треугольники AOB и A₁OB₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: \[ \frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1} \]
• Ho AB = 2A₁B₁, поэтому AO = 2A₁O и BO = 2B₁O.
• Таким образом, точка O пересечения медиан AA₁ и BB₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
• Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB₁ и CC₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой O.
• Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.