Задача 1 Доказать, что медианы треугольника пере- секаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Решение Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА₁ и ВВ₁ и проведём среднюю ли- нию А1В1 этого треугольника (рис. 196). Отрезок А1В1 параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежа- щие углы при пересечении параллельных пря- мых АВ И А₁В₁ секущими АА₁ и ВВ1. Следова- тельно, треугольники АОВ И А₁ОВ₁ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорцио- нальны: AO BO = AO BO A1B1 Ho AB = 2A₁В₁, поэтому АО = 2А₁О И ВО = = 2ВО. Таким образом, точка О пересечения ме- диан АА₁ и ВВ₁ делит каждую из них в отноше- нии 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пере- сечения медиан ВВ₁ и СС₁ делит каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины, и, следо- вательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отноше- нии 2:1, считая от вершины.

Доказательство того, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение:

1. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой O точку пересечения медиан AA₁ и BB₁.
2. Проведём среднюю линию A₁B₁ треугольника ABC.
3. Отрезок A₁B₁ параллелен стороне AB, следовательно, углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AB и A₁B₁ секущими AA₁ и BB₁.
4. Треугольники AOB и A₁OB₁ подобны по двум углам (угол 1 = углу 2, угол 3 = углу 4).
5. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1}$$.
6. Так как AB = 2A₁B₁ (A₁B₁ - средняя линия), то AO = 2A₁O и BO = 2B₁O.
7. Таким образом, точка O пересечения медиан AA₁ и BB₁ делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.
8. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан BB₁ и CC₁ также делит каждую из них в отношении 2:1 и совпадает с точкой O.
9. Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.