11. Задача Эйлера. Решив все свои сбережения поделить поровну между всеми сыновьями, некто составил завещание: «Старший из моих сыновей должен получить 1000 рублей и восьмую часть остатка; следующий – 2000 рублей и восьмую часть нового остатка; третий сын – 3000 рублей и восьмую часть следующего остатка и т. д.». Определите число сыновей и размер завещанных сбережений.

Пусть x - число сыновей, а S - общий размер сбережений.

Первый сын получил 1000 рублей и 1/8 остатка, значит, остаток после первого сына: S - 1000. Он получил 1000 + (S-1000)/8.

Второй сын получил 2000 рублей и 1/8 нового остатка. И так далее.

Заметим, что все сыновья получили одинаковую сумму денег. Пусть эта сумма равна A.

Тогда, по условию задачи:

Первый сын: $$A = 1000 + \frac{S - 1000}{8}$$

Второй сын: $$A = 2000 + \frac{S - A - 2000}{8}$$

Третий сын: $$A = 3000 + \frac{S - 2A - 3000}{8}$$

Приравняем выражения для первого и второго сыновей:

$$1000 + \frac{S - 1000}{8} = 2000 + \frac{S - A - 2000}{8}$$

Умножим обе части уравнения на 8:

$$8000 + S - 1000 = 16000 + S - A - 2000$$

$$7000 + S = 14000 + S - A$$

$$A = 14000 - 7000 = 7000$$

Теперь, когда мы знаем, что каждый сын получил 7000 рублей, мы можем найти общий размер сбережений, используя уравнение для первого сына:

$$7000 = 1000 + \frac{S - 1000}{8}$$

$$6000 = \frac{S - 1000}{8}$$

$$48000 = S - 1000$$

$$S = 49000$$

Теперь найдем число сыновей (x), разделив общий размер сбережений на сумму, полученную каждым сыном:

$$x = \frac{S}{A} = \frac{49000}{7000} = 7$$

Таким образом, число сыновей равно 7, а общий размер сбережений составляет 49000 рублей.

Ответ: 7 сыновей, 49000 рублей