Задача г Na по рафпобедренном ДАВС с основалиси Ас Em obonax "ши) гоответственно <HCM = CCAN Докажите что AB UBC Отмечены точки Muy maє, что al 4 MBN-равнофедренный 6. ВО 1 ММ, где Уточка пересечения Ми CM

a) Докажем, что ΔMBN - равнобедренный.

Так как ΔABC - равнобедренный с основанием AC, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.

Дано: ∠HCM = ∠CAN.

Рассмотрим углы:

∠BCA = ∠HCM + ∠MCA;

∠BAC = ∠CAN + ∠NAB.

Так как ∠HCM = ∠CAN, то ∠MCA = ∠NAB.

Рассмотрим ΔCAN и ΔHCM:

∠CAN = ∠HCM (по условию);

AC - общая сторона;

∠NAB = ∠MCA (доказано выше).

Следовательно, ΔCAN = ΔHCM по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AN = CM.

Так как AB = BC, то AB - AN = BC - CM, следовательно, BN = BM.

ΔMBN - равнобедренный, так как BN = BM.

б) Докажем, что BO ⊥ MN, где O - точка пересечения AN и CM.

Так как ΔMBN - равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BMN = ∠BNM.

Пусть O - точка пересечения AN и CM.

Рассмотрим ΔAOC:

∠OAC = ∠OCA (дано).

Следовательно, ΔAOC - равнобедренный, и AO = OC.

Рассмотрим ΔABO и ΔCBO:

AB = BC (дано);

BO - общая сторона;

AO = OC (доказано выше).

Следовательно, ΔABO = ΔCBO по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что ∠ABO = ∠CBO, то есть BO - биссектриса ∠ABC.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также высотой.

Следовательно, BO ⊥ AC.

Так как ΔMBN - равнобедренный, то биссектриса BO является также высотой, проведенной к основанию MN.

Следовательно, BO ⊥ MN.

Ответ: a) ΔMBN - равнобедренный; б) BO ⊥ MN.