Задача 17 I Объём правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Ответ: \[\sqrt{13}\]

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем площадь основания пирамиды.

Площадь правильного шестиугольника со стороной a равна: \[S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2\] В нашем случае a = 1, поэтому: \[S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\]

• Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: \[V = \frac{1}{3} S h\] где S — площадь основания, h — высота пирамиды. Нам известно, что V = 6, поэтому: \[6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} h\] \[6 = \frac{\sqrt{3}}{2} h\] \[h = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\]

• Шаг 3: Найдем боковое ребро пирамиды.

Основание высоты правильной шестиугольной пирамиды является центром шестиугольника. Расстояние от центра правильного шестиугольника до вершины равно стороне шестиугольника, то есть 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, отрезком от основания высоты до вершины основания и боковым ребром пирамиды. По теореме Пифагора: \[l^2 = h^2 + a^2\] где l — длина бокового ребра, h — высота пирамиды, a — сторона основания. \[l^2 = (4\sqrt{3})^2 + 1^2\] \[l^2 = 16 \cdot 3 + 1 = 48 + 1 = 49\] \[l = \sqrt{49} = 7\] Следовательно, боковое ребро равно 7.

Ответ: \[\sqrt{13}\]