(Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях а, отличных от –2 и 2, значение дроби \(\frac{a^2 - 4}{12 + a^2 - a^4}\) является отрицательным числом? 1) Выберите произвольное значение а, отличное от –2 и 2, и сравните с нулём соответствующее значение дроби. 2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи. 3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Решение:

Давай разберёмся с этим выражением шаг за шагом.

1. Проверим с произвольным значением:

   Пусть \(a = 3\). Тогда дробь будет:

   \[ \frac{3^2 - 4}{12 + 3^2 - 3^4} = \frac{9 - 4}{12 + 9 - 81} = \frac{5}{21 - 81} = \frac{5}{-60} = -\frac{1}{12} \]

   Значение отрицательное. Но это только один пример, нужно доказать для всех \(a\), кроме \(-2\) и \(2\).

2. Преобразование дроби:

   Чтобы понять, когда дробь отрицательная, нужно проанализировать знаки числителя и знаменателя. Давайте преобразуем знаменатель:

   \[ 12 + a^2 - a^4 \]

   Сделаем замену: пусть \(x = a^2\). Тогда знаменатель станет:

   \[ 12 + x - x^2 = -(x^2 - x - 12) \]

   Теперь разложим квадратный трёхчлен \(x^2 - x - 12\) на множители. Для этого найдём его корни:

   \(x^2 - x - 12 = 0\)

   \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]

   Корни: \(x_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4\) и \(x_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3\).

   Значит, \(x^2 - x - 12 = (x - 4)(x - (-3)) = (x - 4)(x + 3)\).

   Теперь вернёмся к нашему знаменателю:

   \[ -(x^2 - x - 12) = -(x - 4)(x + 3) \]

   Подставим обратно \(x = a^2\):

   \[ -(a^2 - 4)(a^2 + 3) \]

   Числитель дроби равен \(a^2 - 4\).

   Итак, наша дробь выглядит так:

   \[ \frac{a^2 - 4}{-(a^2 - 4)(a^2 + 3)} \]

   При \(a \neq -2\) и \(a \neq 2\), \(a^2 - 4 \neq 0\), поэтому мы можем сократить числитель и знаменатель на \(a^2 - 4\):

   \[ \frac{1}{-(a^2 + 3)} \]

3. Вывод:

   Теперь рассмотрим полученное выражение \(-\frac{1}{a^2 + 3}\).

   Так как \(a^2 \ge 0\) для любого действительного \(a\), то \(a^2 + 3 \ge 3\). Следовательно, знаменатель \(a^2 + 3\) всегда положителен.

   Дробь \(\frac{1}{a^2 + 3}\) всегда положительна.

   А выражение \(-\frac{1}{a^2 + 3}\) всегда отрицательно.

   Таким образом, при всех значениях \(a\), отличных от \(-2\) и \(2\), значение дроби является отрицательным числом.

Ответ: Да, верно.