Задача 103. KM – проекция отрезка AB на плоскость α. Отрезок AB равен 8√2 и образует с плоскостью угол 45°. Найдите расстояние от концов отрезка до плоскости.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам нужно найти расстояние от концов отрезка AB до плоскости α, зная длину отрезка и угол, который он образует с плоскостью.

Представим себе, что у нас есть отрезок AB длиной \(8\sqrt{2}\), который наклонен к плоскости α под углом 45 градусов. Расстояние от концов отрезка до плоскости - это перпендикуляры, опущенные из точек A и B на плоскость. Пусть эти перпендикуляры будут AA' и BB'.

Сначала найдем проекцию отрезка AB на плоскость α, которая дана как KM. Но это нам не понадобится для решения напрямую. Нам нужно найти AA' и BB'.

Заметим, что если мы рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный отрезком AB, перпендикуляром AA' и проекцией A'B на плоскость, то угол между AB и A'B равен 45 градусам. В этом прямоугольном треугольнике AA' является катетом, AB - гипотенузой, и угол между ними 45 градусов.

Используем тригонометрию. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

\[\sin(45^\circ) = \frac{AA'}{AB}\]

Мы знаем, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(AB = 8\sqrt{2}\). Подставим эти значения в уравнение:

\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{AA'}{8\sqrt{2}}\]

Теперь найдем AA':

\[AA' = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 8\sqrt{2}\] \[AA' = \frac{8 \cdot 2}{2}\] \[AA' = 8\]

Таким образом, расстояние от точки A до плоскости α равно 8.

Аналогично, для точки B расстояние BB' также будет равно 8, так как угол между AB и плоскостью α одинаков для обеих точек (отрезок образует один угол с плоскостью).

Ответ: Расстояние от концов отрезка до плоскости равно 8.

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!