Задача 5. космическому аппарату, находящемуся вблизи Земли, сообщили скорость ѵ=10 км/с относительно Земли, в направлении, совпадающим с направлением движения Земли. Определите, на какое максимальное расстояние (в а. е.) от Солнца сможет улететь космический аппарат. Взаимодействием с планетами пренебречь, орбиту Земли считать окружностью, радиуса R=150 млн. км.

Пошаговое решение:

1. Определение скорости Земли:

Определим скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца, считая орбиту круговой:

\[ v_\oplus = \frac{2 \pi R}{T} \]

где:

• R - радиус орбиты Земли (150 млн км = 1.5 × 10¹¹ м),
• T - период обращения Земли вокруг Солнца (365.25 дней = 3.156 × 10⁷ с).

Тогда:

\[ v_\oplus = \frac{2 \pi \cdot 1.5 \cdot 10^{11}}{3.156 \cdot 10^7} \approx 29.8 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 29.8 \text{ км/с} \]
2. Начальная скорость аппарата относительно Солнца:

Начальная скорость аппарата относительно Солнца складывается из скорости Земли и скорости аппарата относительно Земли:

\[ v = v_\oplus + v_{\text{аппарата}} = 29.8 + 10 = 39.8 \text{ км/с} \]
3. Закон сохранения энергии:

Запишем закон сохранения энергии для аппарата:

\[ \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = \frac{v_{\text{max}}^2}{2} - \frac{GM}{r_{\text{max}}} \]

где:

• G - гравитационная постоянная (6.674 × 10^-11 Н·м²/кг²),
• M - масса Солнца (1.989 × 10³⁰ кг),
• R - начальное расстояние от Солнца (1.5 × 10¹¹ м),
• r_max - максимальное расстояние от Солнца,
• v - начальная скорость аппарата относительно Солнца (39.8 × 10³ м/с),
• v_max - минимальная скорость аппарата в точке максимального удаления (можно считать ≈ 0).

Примем, что при максимальном удалении скорость аппарата будет очень мала и стремится к нулю (v_max ≈ 0). Тогда:

\[ \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{R} = - \frac{GM}{r_{\text{max}}} \] \[ r_{\text{max}} = \frac{GM}{\frac{GM}{R} - \frac{v^2}{2}} \]
4. Вычисление максимального расстояния:

Подставим значения и вычислим r_max:

\[ r_{\text{max}} = \frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 1.989 \cdot 10^{30}}{\frac{6.674 \cdot 10^{-11} \cdot 1.989 \cdot 10^{30}}{1.5 \cdot 10^{11}} - \frac{(39.8 \cdot 10^3)^2}{2}} \approx 4.07 \cdot 10^{11} \text{ м} \]
5. Перевод в астрономические единицы:

Переведем максимальное расстояние в астрономические единицы (а. е.), зная, что 1 а. е. = 1.5 × 10¹¹ м:

\[ r_{\text{max}} = \frac{4.07 \cdot 10^{11}}{1.5 \cdot 10^{11}} \approx 2.71 \text{ а. е.} \]