Задача 1 На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты точки Ди Е соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры DK и ЕР к прямой АС, DK = EP, LADK = ∠PEC. Докажите, что AB = BC. Задача 2 В треугольниках АВС и А,В,С, высоты BD и B₁D, равны, причем ∠C = ∠C₁, AD = A₁D₁. Докажите, что ∠A = LA₁.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Задача 1

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры DK и EP к прямой AC, DK = EP, ∠ADK = ∠PEC. Докажите, что AB = BC.

• Рассмотрим треугольники ADK и CEP:
• DK = EP (по условию)
• ∠ADK = ∠PEC (по условию)
• ∠AKD = ∠CPE = 90° (так как DK и EP - перпендикуляры)

Следовательно, треугольники ADK и CEP равны по стороне и двум углам (второй признак равенства треугольников).

• Из равенства треугольников следует, что AK = CE.
• Рассмотрим треугольники ADC и CEA:
• AC - общая сторона.
• AK = CE (доказано выше).
• DK = EP (по условию).

Таким образом, треугольники ADC и CEA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

• Из равенства треугольников следует, что ∠DAC = ∠ECA, то есть треугольник ABC - равнобедренный.
• Следовательно, AB = BC.

Задача 2

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ высоты BD и B₁D₁ равны, причем ∠C = ∠C₁, AD = A₁D₁. Докажите, что ∠A = ∠A₁.

• Рассмотрим прямоугольные треугольники BDC и B₁D₁C₁:
• ∠C = ∠C₁ (по условию)
• BD = B₁D₁ (по условию)

Следовательно, треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны по катету и острому углу.

• Из равенства треугольников следует, что CD = C₁D₁.
• Так как AD = A₁D₁ (по условию) и CD = C₁D₁, то AC = A₁C₁.
• Рассмотрим треугольники ADC и A₁D₁C₁:
• AD = A₁D₁ (по условию)
• AC = A₁C₁ (доказано выше)
• ∠C = ∠C₁ (по условию)

Следовательно, треугольники ADC и A₁D₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

• Из равенства треугольников следует, что ∠A = ∠A₁.

Ответ: Доказательство приведено выше.