Задача 3 Натуральное число п имеет ровно 9 натуральных делителей (включая 1 и само п). Нетрудно понять, что в зависимости от п, вопрос: "Сколько делителей имеет число 10n?" - будет иметь различные ответы. Сколько различных ответов можно дать на этот вопрос? Варианты ответа: A) 2 Б) 3 B) 4 Г) 5

Раз число n имеет 9 делителей, то его можно представить в виде $$n = p^8$$ или $$n = p^2 \cdot q^2$$, где p и q – различные простые числа.

Рассмотрим первый случай: $$n = p^8$$. Тогда $$10n = 2 \cdot 5 \cdot p^8$$.

• Если p = 2 или p = 5, то $$10n = 2^9 \cdot 5$$ или $$10n = 2 \cdot 5^9$$. В этом случае количество делителей числа 10n равно $$(9 + 1)(1 + 1) = 10 \cdot 2 = 20$$.
• Если p ≠ 2 и p ≠ 5, то количество делителей числа 10n равно $$(1 + 1)(1 + 1)(8 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 9 = 36$$.

Рассмотрим второй случай: $$n = p^2 \cdot q^2$$. Тогда $$10n = 2 \cdot 5 \cdot p^2 \cdot q^2$$.

• Если p = 2 и q = 5 (или наоборот), то $$10n = 2^3 \cdot 5^3$$. В этом случае количество делителей числа 10n равно $$(3 + 1)(3 + 1) = 4 \cdot 4 = 16$$.
• Если p = 2 и q ≠ 5 (или p = 5 и q ≠ 2), то $$10n = 2^3 \cdot 5 \cdot q^2$$ или $$10n = 2 \cdot 5^3 \cdot p^2$$. В этом случае количество делителей числа 10n равно $$(3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24$$.
• Если p ≠ 2, p ≠ 5, q ≠ 2 и q ≠ 5, то количество делителей числа 10n равно $$(1 + 1)(1 + 1)(2 + 1)(2 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$$.

Получили 4 различных значения: 16, 20, 24, 36.

Следовательно, можно дать 4 различных ответа на этот вопрос.

Ответ: В) 4