Задача. Пересечение двух плоскостей. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб, K ∈ DD₁, DK = KD₁. 1. Объясните, как построить точку пересечения прямой B₁K с плоскостью ABC. 2. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей AB₁K и ADD₁. 3. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей AB₁K и ADC. 4. Вычислите длины отрезков AK и AB₁, если AD = a.

Так как K — середина ребра DD₁, имеем \(DK=KD₁=\frac a2\).

1. Рассмотрим плоскость \(BB₁KD\). Она пересекает плоскость основания \(ABC\) по прямой \(BD\). Продолжим прямую \(B₁K\) до пересечения с плоскостью основания. Полученную точку обозначим \(P\). Таким образом, \(P=B₁K\cap ABC\).

Для проверки можно ввести координаты: \(A(0,0,0)\), \(D(a,0,0)\), \(B(0,a,0)\), \(B₁(0,a,a)\), \(K(a,0,\frac a2)\). Прямая \(B₁K\) пересекает плоскость \(z=0\) в точке \(P(2a,-a,0)\).

2. Плоскости \(AB₁K\) и \(ADD₁\) имеют общую точку \(A\). Кроме того, точка \(K\) принадлежит плоскости \(ADD₁\) и по условию принадлежит плоскости \(AB₁K\). Следовательно, линия их пересечения проходит через точки \(A\) и \(K\):

\[AB₁K\cap ADD₁=AK.\]

3. Плоскости \(AB₁K\) и \(ADC\) имеют общую точку \(A\). Точка \(P\) также принадлежит обеим плоскостям: \(P\in B₁K\subset AB₁K\) и \(P\in ABC=ADC\). Поэтому линия пересечения этих плоскостей — прямая \(AP\):

\[AB₁K\cap ADC=AP.\]

4. В прямоугольном треугольнике \(ADK\):

\[AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{a^2+\left(\frac a2\right)^2}=\frac{a\sqrt5}{2}.\]

Диагональ грани \(ABB₁A₁\) равна:

\[AB₁=\sqrt{AB^2+BB₁^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2.\]

Ответ: 1) \(P=B₁K\cap ABC\); 2) линия пересечения — \(AK\); 3) линия пересечения — \(AP\); 4) \(AK=\frac{a\sqrt5}{2}\), \(AB₁=a\sqrt2\).