Задача 3: Покажите, каким образом можно выдать сумму a) 8, 9, 10, 11, 12 копеек, б) любую сумму, большую 7 копеек, используя только трёхкопеечные и пятикопеечные монеты.

Ответ: смотри решение ниже

Решение:

a) Представим суммы 8, 9, 10, 11, 12 копеек, используя монеты в 3 и 5 копеек:

• 8 = 3 + 5
• 9 = 3 + 3 + 3
• 10 = 5 + 5
• 11 = 3 + 3 + 5
• 12 = 3 + 3 + 3 + 3

б) Докажем, что любую сумму, большую 7 копеек, можно представить в виде комбинации 3-копеечных и 5-копеечных монет.

Сначала покажем, что можно представить суммы 8, 9, 10 копеек (как в пункте a). Любое число больше 10 можно представить в виде 8 + 3n, 9 + 3n или 10 + 3n, где n — целое неотрицательное число. Так как 8, 9 и 10 можно представить в виде комбинации 3-копеечных и 5-копеечных монет, то и любую сумму, большую 7 копеек, можно представить в таком виде.

Ответ: смотри решение выше