Задача. Расстояние по реке между пунктами А и В туда и обратно катер проходит за 8 часов. Найдите это расстояние, если собственная скорость катера 8 км/ч, а скорость течения 2 км/ч

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Дано:

• Общее время в пути туда и обратно: 8 часов.
• Собственная скорость катера: 8 км/ч.
• Скорость течения реки: 2 км/ч.

Найти:

• Расстояние между пунктами А и В.

Решение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно понять, как скорость течения реки влияет на скорость катера.

1. Скорость катера по течению: Когда катер плывет по течению, скорость реки добавляется к его собственной скорости.
   \[ \text{Скорость по течению} = \text{Собственная скорость} + \text{Скорость течения} \]
   \[ \text{Скорость по течению} = 8 \text{ км/ч} + 2 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч} \]
2. Скорость катера против течения: Когда катер плывет против течения, скорость реки вычитается из его собственной скорости.
   \[ \text{Скорость против течения} = \text{Собственная скорость} - \text{Скорость течения} \]
   \[ \text{Скорость против течения} = 8 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 6 \text{ км/ч} \]
3. Время в пути: Пусть 't1' - время в пути по течению, а 't2' - время в пути против течения. Мы знаем, что общее время равно 8 часам, то есть:
   \[ t_1 + t_2 = 8 \text{ часов} \]
4. Расстояние: Расстояние (S) равно скорости, умноженной на время. Расстояние от А до В одинаковое в обоих направлениях.
   \[ S = \text{Скорость по течению} \times t_1 \]
   \[ S = \text{Скорость против течения} \times t_2 \]
   Значит, мы можем записать:
   \[ 10 \times t_1 = 6 \times t_2 \]
5. Система уравнений: Теперь у нас есть система из двух уравнений:
   \[ \begin{cases} t_1 + t_2 = 8 \\ 10 t_1 = 6 t_2 \end{cases} \]
6. Решаем систему: Из второго уравнения выразим $$t_2$$:
   \[ t_2 = \frac{10 t_1}{6} = \frac{5}{3} t_1 \]
   Подставим это значение $$t_2$$ в первое уравнение:
   \[ t_1 + \frac{5}{3} t_1 = 8 \]
   Приведем к общему знаменателю:
   \[ \frac{3 t_1 + 5 t_1}{3} = 8 \]
   \[ \frac{8 t_1}{3} = 8 \]
   Умножим обе части на 3 и разделим на 8:
   \[ t_1 = \frac{8 \times 3}{8} = 3 \text{ часа} \]
   Теперь найдем $$t_2$$:
   \[ t_2 = 8 - t_1 = 8 - 3 = 5 \text{ часов} \]
7. Находим расстояние: Теперь, когда мы знаем время в пути по течению ($$t_1$$) и против течения ($$t_2$$), мы можем рассчитать расстояние.
   Используем скорость по течению:
   \[ S = 10 \text{ км/ч} \times 3 \text{ часа} = 30 \text{ км} \]
   Проверим, используя скорость против течения:
   \[ S = 6 \text{ км/ч} \times 5 \text{ часов} = 30 \text{ км} \]

Расстояние получилось одинаковое, значит, расчеты верны.

Ответ: 30 км