Задача. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь треугольника.

Решим задачу по геометрии.

Пусть один катет равен $$a$$, а другой $$b$$. Из условия задачи известно, что $$a - b = 23$$ см, а гипотенуза $$c = 37$$ см. Необходимо найти площадь треугольника $$S$$.

Используем теорему Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$.

Также, площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab$$.

Выразим $$a$$ через $$b$$ из первого уравнения: $$a = b + 23$$.

Подставим это выражение в теорему Пифагора: $$(b + 23)^2 + b^2 = 37^2$$

Раскроем скобки: $$b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369$$

Приведем подобные слагаемые: $$2b^2 + 46b + 529 - 1369 = 0$$

$$2b^2 + 46b - 840 = 0$$

Разделим уравнение на 2: $$b^2 + 23b - 420 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно $$b$$. Найдем дискриминант: $$D = 23^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209$$

Найдем корни уравнения: $$b_1 = \frac{-23 + \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$b_2 = \frac{-23 - \sqrt{2209}}{2} = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем $$b = 12$$ см.

Найдем $$a$$: $$a = b + 23 = 12 + 23 = 35$$ см.

Теперь найдем площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 420 = 210$$

Ответ: 210