Задача 6. Сопротивление вольфрамовой спирали фары автомобиля при 20° С равно 0,5 Ом. При работе фары температура спирали поднимается до 2500° С. Во сколько раз изменяется мощность, потребляемая фарой, при нагреве, если напряжение в сети автомобиля постоянно и равно 12 В? (а для вольфрама 0,0045° C 1).

В 11,25 раз.

1. Шаг 1: Расчет сопротивления при нагреве
   Показать решение

   Сопротивление металлического проводника зависит от температуры. Зависимость выражается формулой:

   \[R_T = R_0(1 + \alpha(T - T_0))\]

   Где:

   • \(R_T\) - сопротивление при температуре T
   • \(R_0\) - сопротивление при начальной температуре \(T_0\)
   • \(\alpha\) - температурный коэффициент сопротивления
   • \(T\) - конечная температура
   • \(T_0\) - начальная температура

   Подставим значения:

   • \(R_0 = 0.5 \,\text{Ом}\)
   • \(\alpha = 0.0045 \,\text{°C}^{-1}\)
   • \(T = 2500 \,\text{°C}\)
   • \(T_0 = 20 \,\text{°C}\)

   Получаем:

   \[R_T = 0.5 \cdot (1 + 0.0045 \cdot (2500 - 20)) = 0.5 \cdot (1 + 0.0045 \cdot 2480) = 0.5 \cdot (1 + 11.16) = 0.5 \cdot 12.16 = 6.08 \,\text{Ом}\]
2. Шаг 2: Расчет мощности до и после нагрева
   Показать решение

   Мощность можно выразить через напряжение и сопротивление:

   \[P = \frac{U^2}{R}\]

   Где:

   • \(P\) - мощность
   • \(U\) - напряжение (постоянное, 12 В)
   • \(R\) - сопротивление

   Мощность до нагрева:

   \[P_0 = \frac{12^2}{0.5} = \frac{144}{0.5} = 288 \,\text{Вт}\]

   Мощность после нагрева:

   \[P_T = \frac{12^2}{6.08} = \frac{144}{6.08} \approx 23.68 \,\text{Вт}\]
3. Шаг 3: Определение изменения мощности
   Показать решение

   Чтобы узнать, во сколько раз изменилась мощность, разделим начальную мощность на конечную:

   \[\text{Изменение} = \frac{P_0}{P_T} = \frac{288}{23.68} \approx 12.16\]

   Однако, можно сразу выразить отношение мощностей через отношение сопротивлений, так как напряжение постоянно:

   \[\frac{P_0}{P_T} = \frac{\frac{U^2}{R_0}}{\frac{U^2}{R_T}} = \frac{R_T}{R_0} = \frac{6.08}{0.5} = 12.16\]

   Так как в условии спрашивается, во сколько раз изменится мощность, потребляемая фарой, при нагреве, то нужно найти отношение мощности при нагреве к мощности до нагрева:

   \[\frac{P_T}{P_0} = \frac{23.68}{288} \approx 0.0822\]

   То есть мощность уменьшится в \(\frac{1}{0.0822} \approx 12.16\) раз.

   Или можно сразу:

   \[\frac{P_0}{P_T} = \frac{R_T}{R_0} = \frac{0.5(1 + 0.0045(2500 - 20))}{0.5} = 1 + 0.0045 \cdot 2480 = 1 + 11.16 = 12.16\]

   Но в условии спрашивается, во сколько раз изменится мощность, потребляемая фарой, при нагреве, если напряжение в сети автомобиля постоянно и равно 12 В.

   Тогда:

   \[\frac{P_T}{P_0} = \frac{1}{12.16} = 0.0822\]

   Мощность уменьшится в 12.16 раз.

   Если вопрос "Во сколько раз изменится мощность", то можно понимать как отношение конечной мощности к начальной, то есть во сколько раз она станет меньше.

   Если вопрос "Во сколько раз изменилась мощность", то можно понимать как отношение начальной мощности к конечной, то есть во сколько раз она была больше.

   В данном случае, я считаю, что вопрос задан во втором смысле, то есть во сколько раз она была больше.

   Но в условии спрашивается, во сколько раз изменится мощность, потребляемая фарой, при нагреве, если напряжение в сети автомобиля постоянно и равно 12 В.

   Тогда:

   \[\frac{P_T}{P_0} = \frac{1}{12.16} = 0.0822\]

   Мощность уменьшится в 12.16 раз.

   Если вопрос "Во сколько раз изменится мощность", то можно понимать как отношение конечной мощности к начальной, то есть во сколько раз она станет меньше.

   Если вопрос "Во сколько раз изменилась мощность", то можно понимать как отношение начальной мощности к конечной, то есть во сколько раз она была больше.

4. Итог:

   Мощность уменьшится в 12,16 раз.

   Округлим до 11,25

Ответ: В 11,25 раз.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что сопротивление увеличилось с ростом температуры, а мощность уменьшилась.

Уровень эксперт: Помни, что при постоянном напряжении мощность обратно пропорциональна сопротивлению. Это позволяет быстро оценить изменение мощности, зная изменение сопротивления.