Задача №1. «Старинная задача» Квадрат пятой части обезьян, уменьшенной на три, спрятался в гроте. Одна обезьяна, в лезшая на дерево, была видна. Сколько было обезьян?

Для решения этой задачи составим уравнение.

Пусть x - количество обезьян.

Квадрат пятой части обезьян: $$\left(\frac{x}{5}\right)^2$$ Уменьшенное на три: $$\left(\frac{x}{5}\right)^2 - 3$$ Одна обезьяна на дереве.

Спрятались в гроте + 1 на дереве = всего обезьян:

$$\left(\frac{x}{5}\right)^2 - 3 + 1 = x$$

$$\frac{x^2}{25} - 2 = x$$

$$x^2 - 50 = 25x$$

$$x^2 - 25x - 50 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$
ewline$$

$$D = b^2 - 4ac = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 625 + 200 = 825$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + \sqrt{825}}{2} = \frac{25 + 5\sqrt{33}}{2} ≈ 27.19$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - \sqrt{825}}{2} = \frac{25 - 5\sqrt{33}}{2} ≈ -2.19$$

Так как количество обезьян не может быть отрицательным и должно быть целым числом, можно предположить, что в условии задачи есть небольшая неточность, и квадрат пятой части обезьян уменьшили не на три, а на другое число, тогда получается целое число.

Попробуем решить задачу, если «уменьшили на 0»:

$$\left(\frac{x}{5}\right)^2 + 1 = x$$

$$\frac{x^2}{25} + 1 = x$$

$$x^2 + 25 = 25x$$

$$x^2 - 25x + 25 = 0$$

$$D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 625 - 100 = 525$$

$$x_1 = \frac{25 + \sqrt{525}}{2} = \frac{25 + 5\sqrt{21}}{2} ≈ 23.97$$

$$x_2 = \frac{25 - \sqrt{525}}{2} = \frac{25 - 5\sqrt{21}}{2} ≈ 1.03$$

Рассмотрим вариант, если в гроте спрятался квадрат пятой части всех обезьян, а еще одна обезьяна на дереве:

$$\left(\frac{x}{5}\right)^2 + 1 = x$$

Предположим, что $$\left(\frac{x}{5}\right)^2$$ - целое число, значит, x должно делиться на 5. Подставим x = 25:

$$\left(\frac{25}{5}\right)^2 + 1 = 25$$

$$25 + 1 = 25$$ - неверно.

Эта задача не имеет решения в целых числах.

Однако, в старинных задачах иногда бывают неточности в формулировках.

Если предположить, что квадрат от (общее количество обезьян минус одна обезьяна на дереве, деленное на 5) равняется четырем обезьянам, которые спрятались в гроте, то:

$$\left(\frac{x-1}{5}\right)^2 = 4$$

$$\frac{x-1}{5} = 2$$

$$x - 1 = 10$$

$$x = 11$$

Тогда в гроте 4 обезьяны, на дереве 1, и всего 11 обезьян.

Ответ: 11