Задача 2: Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 и 5, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°. Найдите диагональ параллелепипеда, площадь боковой поверхности и объем.

Решение:

1. Построим угол между диагональю параллелепипеда и основанием (∠C₁AC). Данный угол равен 45° по условию.

2. Найдем по т. Пифагора длину диагонали AC прямоугольника ABCD:

$$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник C₁AC. Т.к. угол ∠C₁AC = 45°, то треугольник C₁AC равнобедренный, а значит, катет C₁C равен катету AC:

$$C_1C = AC = 13$$

Найдем гипотенузу C₁A по теореме Пифагора:

$$C_1A = \sqrt{C_1C^2 + AC^2} = \sqrt{13^2 + 13^2} = \sqrt{169 + 169} = \sqrt{338} = 13\sqrt{2}$$

4. Найдем площадь боковой поверхности и объем.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда:

$$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 2(a+b) \cdot h = 2(12 + 5) \cdot 13 = 2 \cdot 17 \cdot 13 = 442$$

Объем прямоугольного параллелепипеда:

$$V = S_{осн} \cdot h = a \cdot b \cdot h = 12 \cdot 5 \cdot 13 = 780$$

Ответ: диагональ параллелепипеда равна $$13\sqrt{2}$$, площадь боковой поверхности равна 442, объем равен 780.