Задача: Строительство нового завода стоит 115 млн рублей. Затраты на производство х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5 х2+x+9 млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px-(0,5 х2+x+9). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более чем за 5 лет?

Решение:

1. 1. Выразим прибыль фирмы за один год.
   Цена продажи единицы продукции: \( p \) тыс. рублей.
   Количество произведенной продукции: \( x \) тыс. единиц.
   Выручка от продажи продукции: \( p × x \) млн рублей.
   Затраты на производство: \( 0.5x^2 + x + 9 \) млн рублей.
   Прибыль фирмы \( P(x) \) за год: \( P(x) = px - (0.5x^2 + x + 9) \) млн рублей.
2. 2. Найдем количество продукции, максимизирующее прибыль.
   Чтобы найти \( x \), при котором прибыль максимальна, найдем производную функции \( P(x) \) по \( x \) и приравняем ее к нулю:
   \( P'(x) = p - (x + 1) \)
   Приравниваем производную к нулю:
   \( p - x - 1 = 0 \)
   \( x = p - 1 \)
   Чтобы это было максимумом, вторая производная должна быть отрицательной:
   \( P''(x) = -1 \)
   Так как \( P''(x) < 0 \), то при \( x = p - 1 \) достигается максимум прибыли.
3. 3. Определим условие окупаемости завода.
   Стоимость строительства завода: 115 млн рублей.
   Срок окупаемости: не более 5 лет.
   Общая прибыль за 5 лет должна быть не менее 115 млн рублей.
   Прибыль за 5 лет: \( 5 × P(x) \)
   Подставим \( x = p - 1 \) в формулу прибыли:
   \( P(p-1) = p(p-1) - (0.5(p-1)^2 + (p-1) + 9) \)
   \( P(p-1) = p^2 - p - (0.5(p^2 - 2p + 1) + p - 1 + 9) \)
   \( P(p-1) = p^2 - p - (0.5p^2 - p + 0.5 + p + 8) \)
   \( P(p-1) = p^2 - p - (0.5p^2 + 8.5) \)
   \( P(p-1) = 0.5p^2 - p - 8.5 \)
   Теперь запишем условие окупаемости:
   \( 5 × (0.5p^2 - p - 8.5) ≥ 115 \)
   \( 2.5p^2 - 5p - 42.5 ≥ 115 \)
   \( 2.5p^2 - 5p - 157.5 ≥ 0 \)
4. 4. Найдем наименьшее значение р.
   Разделим все члены неравенства на 2.5:
   \( p^2 - 2p - 63 ≥ 0 \)
   Найдем корни квадратного уравнения \( p^2 - 2p - 63 = 0 \) с помощью дискриминанта:
   \( D = (-2)^2 - 4 × 1 × (-63) = 4 + 252 = 256 \)
   \( √{D} = 16 \)
   \( p_1 = \frac{2 - 16}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)
   \( p_2 = \frac{2 + 16}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
   Так как парабола \( y = p^2 - 2p - 63 \) направлена ветвями вверх, неравенство \( p^2 - 2p - 63 ≥ 0 \) выполняется при \( p ≤ -7 \) или \( p ≥ 9 \).
   Поскольку цена \( p \) не может быть отрицательной, то наименьшее допустимое значение \( p \) равно 9.

Ответ: 9