Задача. Точки A и B находятся по одну сторону от плоскости α. Точки A₁ и B₁ — их параллельные проекции на эту плоскость, причём AA₁ > BB₁. Постройте точку пересечения K прямой AB с плоскостью α. И найдите расстояние между серединой отрезка KB и её проекцией на плоскость α, если KB₁ : B₁A₁ = 3 : 1 и AA₁ = 8 см.

Так как точка A расположена дальше от плоскости, чем точка B, точка K лежит на продолжении проекции A₁B₁ за точку B₁.

Построение: на прямой A₁B₁ отложим за точкой B₁ отрезок B₁K, такой что \(KB_1:B_1A_1=3:1\). Тогда точки K, A₁ и B₁ являются проекциями соответствующих точек прямой AB на плоскость α, поэтому K — точка пересечения прямой AB с плоскостью α.

Обозначим \(B_1A_1=d\). Тогда \(KB_1=3d\), а \(KA_1=KB_1+B_1A_1=4d\).

В сечении, проходящем через прямую \(AB\) и перпендикуляр к плоскости α, получаются подобные треугольники. Поэтому

\[\frac{AA_1}{KA_1}=\frac{BB_1}{KB_1}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{8}{4d}=\frac{BB_1}{3d},\qquad BB_1=\frac{8\cdot3d}{4d}=6\text{ см}.\]

Пусть M — середина отрезка KB. Проекция точки K на плоскость α — сама точка K, а проекция точки B — точка B₁. Поэтому проекция точки M является серединой отрезка KB₁. Расстояние от M до плоскости равно половине расстояния от B до плоскости:

\[MM_1=\frac{BB_1}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ см}.\]

Ответ: 3 см.