Задача 2 В равнобедренном ∆ АВС с основанием АС на сторонах АВ и ВС от- мечены соответственно точки М и N так, что ∠АСМ = ∠ CAN. Докажите, что: а) Д MBN – равнобедренный; б) ВО ⊥ МN, где О – точка пересечения AN и СМ.

Предварительный анализ

Это задача по геометрии, 7-9 класс. Нужно доказать два утверждения о треугольниках и отрезках.

Решение

а) Докажем, что ΔMBN — равнобедренный.

Дано: ΔABC — равнобедренный, AC — основание, M ∈ AB, N ∈ BC, ∠ACM = ∠CAN.

Нужно доказать: ΔMBN — равнобедренный.

Доказательство:

1. Т.к. ΔABC — равнобедренный, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA.
2. Пусть ∠ACM = ∠CAN = α. Тогда ∠MAC = ∠BAC - ∠CAN, ∠NCA = ∠BCA - ∠ACM. Следовательно, ∠MAC = ∠NCA.
3. Рассмотрим ΔCAN и ΔACM:
4. AC — общая сторона,
5. ∠CAN = ∠ACM = α,
6. ∠MAC = ∠NCA.
7. Следовательно, ΔCAN = ΔACM по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
8. Из равенства треугольников следует, что AN = CM и AM = CN.
9. Т.к. AB = BC и AM = CN, то AB - AM = BC - CN, следовательно, MB = BN.
10. Следовательно, ΔMBN — равнобедренный (по определению).

б) Докажем, что BO ⊥ MN.

Дано: BO — биссектриса ∠MBN, O — точка пересечения AN и CM.

Нужно доказать: BO ⊥ MN.

Доказательство:

1. Т.к. ΔMBN — равнобедренный, то ∠BMN = ∠BNM.
2. Т.к. MB = BN, то BO — биссектриса и медиана ΔMBN.
3. Т.к. BO — медиана и высота, то BO ⊥ MN.

Ответ: доказано

Отлично, ты справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!