Задача №3 В равнобедренном треугольнике АВС AB=BC, TK || AC, TK=4, AC=12, BC=18. Найдите периметр треугольника ТВК. Задача №4 В прямоугольнике ABCD BM=15, MC=21, прямые АМ и CD пересекаются в точке К. Найдите КД, если АВ=16. те зна Задача №5 В треугольнике АВС СН-высота, ∠ACB = 90°, AH = 9, BH = 36. Найдите площадь треугольника АНС. *Задача №6 ABCD - трапеция КL||ВС, ВК-АК, CL-DL, AD=20, BC=8, Площадь треугольника ВОС равна 20. Найдите площадь треугольника POQ.

Задача №3

В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC, TK || AC, TK = 4, AC = 12, BC = 18. Найти периметр треугольника TBK.

Поскольку TK || AC, то треугольник TBK подобен треугольнику ABC. Коэффициент подобия k = TK / AC = 4 / 12 = 1 / 3.

Следовательно, TB = KB = BC * k = 18 * (1 / 3) = 6.

Периметр треугольника TBK равен P = TB + KB + TK = 6 + 6 + 4 = 16.

Ответ: 16

Задача №4

В прямоугольнике ABCD BM = 15, MC = 21, прямые AM и CD пересекаются в точке K. Найти KD, если AB = 16.

Треугольники ABM и KCM подобны (по двум углам: углы ABM и KCM прямые, углы AMB и KMC вертикальные).

Тогда AB / KC = BM / MC, то есть 16 / KC = 15 / 21. Отсюда KC = 16 * 21 / 15 = 112 / 5 = 22.4.

Так как ABCD прямоугольник, то AB = CD = 16 + KC, следовательно KD = KC = 22.4.

Ответ: 22.4

Задача №5

В треугольнике ABC CH - высота, ∠ACB = 90°, AH = 9, BH = 36. Найти площадь треугольника AHC.

Треугольник ABC прямоугольный. Высота CH, проведенная из прямого угла, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу. То есть CH^2 = AH * BH = 9 * 36 = 324. Отсюда CH = √324 = 18.

Площадь треугольника AHC равна S = (1 / 2) * AH * CH = (1 / 2) * 9 * 18 = 81.

Ответ: 81

Задача №6

ABCD - трапеция KL || BC, BK = AK, CL = DL, AD = 20, BC = 8, Площадь треугольника BOC равна 20. Найти площадь треугольника POQ.

Пусть O - точка пересечения диагоналей трапеции, P и Q - точки пересечения диагоналей треугольников ABK и CDL соответственно.

Так как BK = AK и CL = DL, то K и L - середины сторон AB и CD соответственно. Значит, KL - средняя линия трапеции. KL = (AD + BC) / 2 = (20 + 8) / 2 = 14.

Треугольники BOC и AOD подобны. Коэффициент подобия k = BC / AD = 8 / 20 = 2 / 5.

Площадь треугольника BOC = 20.

Площадь треугольника AOD равна S_AOD = S_BOC / k^2 = 20 / (4 / 25) = 125.

Площадь трапеции ABCD равна S_ABCD = S_BOC + S_AOD + S_ABO + S_CDO. Поскольку S_ABO = S_CDO, то S_ABCD = 20 + 125 + 2 * S_ABO.

S_ABO = sqrt(S_BOC * S_AOD) = sqrt(20 * 125) = sqrt(2500) = 50.

S_ABCD = 20 + 125 + 2 * 50 = 245.

Пусть h - высота трапеции. Тогда S_ABCD = (1 / 2) * (AD + BC) * h = (1 / 2) * (20 + 8) * h = 14 * h = 245. Отсюда h = 245 / 14 = 35 / 2 = 17.5.

Треугольники POQ и BOC подобны. Коэффициент подобия равен k1 = PQ / BC.

PQ = KL - (BK + LC). Так как BK=AK, CL=DL то AK=BK=AB/2 и CL=DL=CD/2 то PQ = KL- (AD-BC)/2 = 14 - (20-8)/2 = 14-6=8.

Треугольники POQ и AOD подобны. Коэффициент подобия равен k2 = PQ / AD.

Площадь треугольника POQ равна S_POQ = S_BOC * (8 / 8)*(8/8) = S_BOC = 20*1 = 20.

Площадь треугольника POQ =20

Ответ: 5