Задача: в треугольнике ABC медиана AM = 6, сторона AB = 8, AC = 10. Найдите длину стороны BC, используя метод удвоения медианы и формулу параллелограмма.

Шаг 1. Продлим медиану AM за точку M до точки D так, чтобы MD = AM = 6. Поскольку M — середина и BC, и AD, четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Шаг 2. В параллелограмме противоположные стороны равны: BD = AC = 10, CD = AB = 8. Его диагонали — AD и BC, поэтому по формуле параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

\(AD^2+BC^2=AB^2+BD^2+CD^2+AC^2\).

Шаг 3. Подставим известные длины и найдём BC:

\(12^2+BC^2=8^2+10^2+8^2+10^2=328\),

\(BC^2=184\), поэтому \(BC=\sqrt{184}=2\sqrt{46}\).

Ответ: \(BC=2\sqrt{46}\) (примерно 13,56).