Задача. В треугольнике один угол в 2 раза больше второго и на 40 градусов больше третьего угла. Найти все углы.

Решение:

Обозначим углы треугольника как \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \).

По условию задачи:

• Один угол в 2 раза больше второго. Пусть \( \alpha = 2\beta \).
• Этот же угол на 40 градусов больше третьего. Пусть \( \alpha = \gamma + 40^{\circ} \).

Из второго условия выразим \( \gamma \): \( \gamma = \alpha - 40^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна 180 градусов: \( \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} \).

Подставим выражения для \( \beta \) и \( \gamma \) через \( \alpha \) в уравнение суммы углов. Из \( \alpha = 2\beta \) следует \( \beta = \frac{\alpha}{2} \).

\( \alpha + \frac{\alpha}{2} + (\alpha - 40^{\circ}) = 180^{\circ} \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{2\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2} + \frac{2(\alpha - 40^{\circ})}{2} = 180^{\circ} \)

\( 2\alpha + \alpha + 2\alpha - 80^{\circ} = 360^{\circ} \)

\( 5\alpha = 360^{\circ} + 80^{\circ} \)

\( 5\alpha = 440^{\circ} \)

\( \alpha = \frac{440^{\circ}}{5} = 88^{\circ} \)

Теперь найдём остальные углы:

\( \beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{88^{\circ}}{2} = 44^{\circ} \)

\( \gamma = \alpha - 40^{\circ} = 88^{\circ} - 40^{\circ} = 48^{\circ} \)

Проверка: \( 88^{\circ} + 44^{\circ} + 48^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника равны 88°, 44° и 48°.