Задача: Для вывоза песка из карьера в автопарке было заказано несколько одинаковых грузовых автомобилей. Руководство автопарка решило, что на каждую машину можно погрузить на одну тонну груза больше, чем рассчитывали, и поэтому прислало на 4 машины меньше. В итоге все 80 тонн песка были вывезены. Сколько машин было заказано в автопарке?

Для решения задачи составим математическую модель.

Пусть первоначально было заказано x машин, и каждая должна была перевезти y тонн песка.

Тогда общее количество песка равно 80 тонн, и мы можем записать первое уравнение:

$$x \cdot y = 80$$

Фактически приехало на 4 машины меньше, то есть x - 4 машины, и каждая перевезла на 1 тонну больше, то есть y + 1 тонну. Общее количество песка осталось тем же — 80 тонн. Получаем второе уравнение:

$$(x - 4) \cdot (y + 1) = 80$$

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x \cdot y = 80 \\ (x - 4)(y + 1) = 80 \end{cases}$$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$$xy + x - 4y - 4 = 80$$

Выразим x из первого уравнения: $$x = \frac{80}{y}$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$\frac{80}{y} \cdot y + \frac{80}{y} - 4y - 4 = 80$$

$$80 + \frac{80}{y} - 4y - 4 = 80$$

$$\frac{80}{y} - 4y - 4 = 0$$

Умножим обе части уравнения на y, чтобы избавиться от дроби (y ≠ 0, так как иначе не было бы перевозки песка):

$$80 - 4y^2 - 4y = 0$$

Разделим обе части уравнения на -4:

$$y^2 + y - 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно y:

$$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Так как количество тонн не может быть отрицательным, то y = 4 тонны.

Теперь найдем x:

$$x = \frac{80}{y} = \frac{80}{4} = 20$$

Итак, первоначально было заказано 20 машин.

Проверим:

Первоначально: 20 машин × 4 тонны = 80 тонн

Фактически: (20 - 4) машин × (4 + 1) тонна = 16 машин × 5 тонн = 80 тонн

Ответ: 20