Задача Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение:

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: Треугольник ABC, AM, BN, CP — медианы.

Доказать: AM, BN, CP пересекаются в точке O, причем AO:OM = BO:ON = CO:OP = 2:1.

Доказательство:

1. Проведем две медианы AM и BN. Они пересекаются в некоторой точке O.
2. Рассмотрим треугольник ABM и медиану BO.
3. Рассмотрим треугольник ABN и медиану AO.
4. Рассмотрим среднюю линию MN треугольника ABC. MN параллельна AC и MN = 1/2 AC.
5. Рассмотрим треугольники OMN и OAC. Они подобны по двум углам (∠MON = ∠AOC как вертикальные, ∠OMN = ∠OAC как накрест лежащие при параллельных MN и AC и секущей AM).
6. Из подобия следует, что AO/OM = CO/ON = AC/MN = 2/1.
7. Аналогично, если рассмотреть медианы BN и CP, их точка пересечения O' будет делить BN в отношении 2:1.
8. Так как точка пересечения медиан единственна, то O = O'.
9. Следовательно, все три медианы пересекаются в одной точке O, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Вывод: Теорема доказана.