409. (Задача-исследование.) Найдите всевозможные значения а, где a – натуральное число, при которых число 90 является наи- меньшим общим кратным чисел 15 и а. 1) Разложите на простые множители каждое из чисел 90 и 15. 2) Обсудите, какие множители должны входить в разложение числа а. 3) Сделайте вывод о числа а.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Разложим числа 90 и 15 на простые множители:
  • 90 = 2 × 3 × 3 × 5 = 2 × 3² × 5
  • 15 = 3 × 5
• Шаг 2: Обсудим, какие множители должны входить в разложение числа а, чтобы наименьшее общее кратное (НОК) чисел 15 и а было равно 90.
• Шаг 3: Чтобы НОК (15, а) = 90, число а должно содержать множитель 2 (так как 90 содержит 2, а 15 – нет) и может содержать множители 3 и 5 в степенях не больше, чем в числе 90.
• Шаг 4: Перечислим возможные варианты числа а:
  • а = 2 (НОК (15, 2) = 30, не подходит)
  • а = 2 × 3 = 6 (НОК (15, 6) = 30, не подходит)
  • а = 2 × 5 = 10 (НОК (15, 10) = 30, не подходит)
  • а = 2 × 3 × 5 = 30 (НОК (15, 30) = 30, не подходит)
  • а = 2 × 3² = 18 (НОК (15, 18) = 90, подходит)
  • а = 2 × 3² × 5 = 90 (НОК (15, 90) = 90, подходит)
• Шаг 5: Сделаем вывод о возможных значениях а.

Вывод: Возможные значения а, при которых НОК (15, а) = 90, это 18 и 90.

Ответ: 18 и 90