131. (Задача-исследование.) По графику функции y = ax² + bx + c (рис. 36) определите знаки коэффициентов а, в и с. 1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов а и с. Укажите эти знаки. 2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента в. Укажите этот знак.

Решение:

Рассмотрим график функции y = ax² + bx + c.

1) Определение знаков коэффициентов a и c:

• Коэффициент a отвечает за направление ветвей параболы:
• если a > 0, ветви направлены вверх;
• если a < 0, ветви направлены вниз.
• Коэффициент c отвечает за точку пересечения параболы с осью y.

а)

• Ветви параболы направлены вниз, следовательно, a < 0.
• Парабола пересекает ось y в положительной области, следовательно, c > 0.

б)

• Ветви параболы направлены вверх, следовательно, a > 0.
• Парабола пересекает ось y в положительной области, следовательно, c > 0.

2) Определение знака коэффициента b:

Коэффициент b влияет на положение вершины параболы. Абсцисса вершины параболы определяется по формуле: \[x_в = -\frac{b}{2a}\]

а)

• Вершина параболы находится в положительной области оси x, следовательно, \[x_в > 0\]
• Так как a < 0, то для выполнения условия \[x_в = -\frac{b}{2a} > 0\] необходимо, чтобы b > 0.
• Итак, b > 0.

б)

• Вершина параболы находится в положительной области оси x, следовательно, \[x_в > 0\]
• Так как a > 0, то для выполнения условия \[x_в = -\frac{b}{2a} > 0\] необходимо, чтобы b < 0.
• Итак, b < 0.

Ответ:

• а) a < 0, b > 0, c > 0
• б) a > 0, b < 0, c > 0