Задача Веер имеет форму кругового сектора. Найдите площадь этого сектора и длину дуги, которую образует развернутый веер, если радиус равен 30 см, а градусная мера угла 160°.

Ответ: Площадь сектора равна \(400\pi\) см², длина дуги равна \(\frac{80\pi}{3}\) см.

Разбираемся:

Начнем с площади сектора. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. Так как сектор составляет \(\frac{160}{360}\) часть круга, то площадь сектора будет:

\[S_{сектора} = \frac{160}{360} \cdot \pi r^2\]

Подставим значение радиуса \(r = 30\) см:

\[S_{сектора} = \frac{160}{360} \cdot \pi \cdot (30)^2 = \frac{4}{9} \cdot \pi \cdot 900 = 400\pi \text{ см}^2\]

Теперь найдем длину дуги. Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r\). Длина дуги, образующей сектор, составит \(\frac{160}{360}\) часть длины окружности:

\[L_{дуги} = \frac{160}{360} \cdot 2 \pi r\]

Подставим значение радиуса \(r = 30\) см:

\[L_{дуги} = \frac{160}{360} \cdot 2 \pi \cdot 30 = \frac{4}{9} \cdot 60 \pi = \frac{240\pi}{9} = \frac{80\pi}{3} \text{ см}\]

Ответ: Площадь сектора равна \(400\pi\) см², длина дуги равна \(\frac{80\pi}{3}\) см.