Задачи: 1. Монету подбрасывают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза? 2. Стрелок делает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность, что он попадёт ровно 2 раза? 3. Игральный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность, что шестёрка выпадет хотя бы один раз? 4. В семье 5 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными, найдите вероятность, что среди них: а) ровно 3 мальчика; б) не менее 3 мальчиков. 5. Вероятность того, что лампочка перегорит в течение месяца, равна 0,1. В люстре 4 лампочки. Какова вероятность, что за месяц перегорит: а) ровно одна лампочка; б) хотя бы одна лампочка?

Решение задачи №1:

Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Используем формулу Бернулли:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}$$

где:

• P(k) - вероятность наступления события ровно k раз;
• C_n^k - количество сочетаний из n по k;
• p - вероятность успеха в одном испытании;
• n - общее количество испытаний.

В нашем случае: n = 5, k = 3, p = 0.5 (вероятность выпадения орла).

Считаем C_5^3:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

Подставляем в формулу Бернулли:

$$P(3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{(5 - 3)} = 10 \cdot (0.125) \cdot (0.25) = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125$$

Ответ: 0.3125

---

Решение задачи №2:

Стрелок делает 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность, что он попадёт ровно 2 раза.

Используем формулу Бернулли:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}$$

В нашем случае: n = 4, k = 2, p = 0.7

Считаем C_4^2:

$$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$

Подставляем в формулу Бернулли:

$$P(2) = 6 \cdot (0.7)^2 \cdot (0.3)^{(4 - 2)} = 6 \cdot (0.49) \cdot (0.09) = 6 \cdot 0.0441 = 0.2646$$

Ответ: 0.2646

---

Решение задачи №3:

Игральный кубик бросают 6 раз. Найти вероятность, что шестёрка выпадет хотя бы один раз.

Проще найти вероятность противоположного события: шестёрка не выпадет ни разу, и вычесть её из 1.

Вероятность не выпадения шестёрки при одном броске: 5/6.

Вероятность не выпадения шестёрки при шести бросках: $$(5/6)^6$$

$$(\frac{5}{6})^6 ≈ 0.3349$$

Вероятность выпадения шестёрки хотя бы раз:

$$1 - (\frac{5}{6})^6 = 1 - 0.3349 = 0.6651$$

Ответ: 0.6651

---

Решение задачи №4:

В семье 5 детей. Считая вероятности рождения мальчика и девочки равными, найти вероятность, что среди них:

а) ровно 3 мальчика

б) не менее 3 мальчиков.

а) Используем формулу Бернулли:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}$$

В нашем случае: n = 5, k = 3, p = 0.5

Считаем C_5^3:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$$

Подставляем в формулу Бернулли:

$$P(3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{(5 - 3)} = 10 \cdot (0.125) \cdot (0.25) = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125$$

б) Вероятность не менее 3 мальчиков = вероятность 3 мальчиков + вероятность 4 мальчиков + вероятность 5 мальчиков.

Вероятность 4 мальчиков:

$$P(4) = C_5^4 * (0.5)^4 * (0.5)^1 = 5 * 0.0625 * 0.5 = 0.15625$$

Вероятность 5 мальчиков:

$$P(5) = C_5^5 * (0.5)^5 * (0.5)^0 = 1 * 0.03125 * 1 = 0.03125$$

Суммарная вероятность:

$$P(3) + P(4) + P(5) = 0.3125 + 0.15625 + 0.03125 = 0.5$$

Ответ: а) 0.3125, б) 0.5

---

Решение задачи №5:

Вероятность того, что лампочка перегорит в течение месяца, равна 0,1. В люстре 4 лампочки. Найти вероятность, что за месяц перегорит:

а) ровно одна лампочка;

б) хотя бы одна лампочка?

а) Используем формулу Бернулли:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1 - p)^{(n - k)}$$

В нашем случае: n = 4, k = 1, p = 0.1

Считаем C_4^1:

$$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4 - 1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4}{1} = 4$$

Подставляем в формулу Бернулли:

$$P(1) = 4 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{(4 - 1)} = 4 \cdot (0.1) \cdot (0.729) = 4 \cdot 0.0729 = 0.2916$$

б) Проще найти вероятность противоположного события: ни одна лампочка не перегорит, и вычесть её из 1.

Вероятность не перегорания одной лампочки: 0.9

Вероятность не перегорания всех 4 лампочек: $$(0.9)^4$$

$$(0.9)^4 = 0.6561$$

Вероятность перегорания хотя бы одной лампочки:

$$1 - (0.9)^4 = 1 - 0.6561 = 0.3439$$

Ответ: а) 0.2916, б) 0.3439