Задачи 331 - Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух пересекающихся прямых. 332- Определите геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от двух данных параллельных прямых. 333 - Даны два отрезка АВ и CD. Постройте точку М, такую, что МА = МВ и МС = MD. 334 - Даны угол и отрезок АВ. Постройте точку М, равноуда- лённую от сторон угла и такую, что МА = MB. 335 Биссектрисы внешних углов В и С треугольника АВС пере- секаются в точке О. Докажите, что точка О равноудалена от мых АВ, ВС И СА.

331

• Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является объединением биссектрис углов, образованных этими прямыми.

Ответ: Биссектрисы углов, образованных этими прямыми.

332

• Геометрическое место точек, равноудаленных от двух параллельных прямых, является прямой, параллельной данным прямым и находящейся посередине между ними.

Ответ: Прямая, параллельная данным прямым и находящаяся посередине между ними.

333

• Точка M должна лежать на серединном перпендикуляре к отрезку AB и на серединном перпендикуляре к отрезку CD.
• Поэтому, чтобы построить точку M, нужно построить серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD.
• Точка пересечения этих серединных перпендикуляров и будет искомой точкой M.

Ответ: Точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам AB и CD.

334

• Поскольку точка M равноудалена от сторон угла, она лежит на биссектрисе этого угла.
• Кроме того, MA = MB, значит, точка M лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
• Поэтому, чтобы построить точку M, нужно построить биссектрису угла и серединный перпендикуляр к отрезку AB.
• Точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра и будет искомой точкой M.

Ответ: Точка пересечения биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку AB.

335

Доказательство:

• Пусть биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке O.
• Тогда точка O равноудалена от прямых, содержащих стороны AB и BC (так как лежит на биссектрисе внешнего угла B).
• Аналогично, точка O равноудалена от прямых, содержащих стороны BC и CA (так как лежит на биссектрисе внешнего угла C).
• Следовательно, точка O равноудалена от всех трех прямых AB, BC и CA.

Ответ: Точка O равноудалена от прямых AB, BC и CA, что и требовалось доказать.